Особую важность в образовании в настоящее время имеют развивающие методики. На первый план выдвигаются личностные достижения ученика, а знания рассматриваются как средство его развития. По мнению многих ведущих ученых XXI век станет «венком качества».
Решение текстовых задач является одним из наиболее эффективных средств, реализующих цель образования (формирование инициативной, творческой личности), так как только при решении текстовых задач используются все три этапа применения математики: этап формализации знаний, этап решения задачи внутри построенной математической модели, этап интерпретации полученного решения задачи. В существующих учебниках математики и учебных пособиях содержания текстовых задач представлено в основном в словесном виде, не используются модельные переходы при предъявлении содержания задач, почти нет заданий на сравнение содержания и структуры задач, заданий, пробуждающих уча¬щихся устанавливать причинно - следственные зависимости между изменением структуры задач и изменением решения задач. Не выделяются основные задачи темы, обязательные для усвоения всем учащимися, а также недостаточно представлен в существующих пособиях этап интерпретации полученного решения текстовых задач. Таким образом, не полной мере используется развивающий потенциал текстовых задач, поэтому требуется вооружить учителя такой методикой повторения реше¬ний текстовых задач, при применении которой отмеченные недостатки будут минимальными.
Целесообразно при повторении для систематизации и обобщения знаний использовать методику варьирования текстовых задач.
Заключительное повторение курса алгебра преследует цель система¬тизировать и обобщить ранее изученные материалы.
На наш взгляд, экзаменационная задача должна стать причиной для составления учителем целой системы задач, а основанием для отбора таких задач может стать теоретический материал, использующийся при решении исходной экзаменационной задачи. Таким путем можно построить целую иерархию задач по уровням обобщения. Поясним сказанное на следующие задачи и их решения.
1. (Задача физического содержания на составление квадратных урав¬нений). Два велосипедиста выезжают одновременно навстречу друг другу из пунктов А и Б, расстояние между которыми 28 км, и через час встречаются. Не останавливаясь, они продолжают путь с той же скоростью, и первый прибывает в пункт Б на 35 мин раньше, чем второй в пункт А.
Определить скорость каждого велопедиста.

-

Составляем уравнение:
, решив которое, получим: .
Проверка.
2. (Тоже физического содержания). Из А и Б вышел поезд, проходящий в час 20 км. Через 8 час выходит поезд из Б в А, проходящий 30 км в час. Расстояние между А и Б равно 350 км. На каком расстоянии от А поезда встретятся?
-

В этой записи уже имеется зависимость: , на основе которой можно составить уравнение:
.
Составляем уравнение:
откуда .
Проверка.


Обобщение. В основном задачи на составление квадратных уравнений сводятся всего к двум видам уравнений:
(x + a)(x + b) = c (1)
(2)
причем основная масса задач сводится к уравнению вида (2). Берем любую зависимость между физическими величинами, например, мощность электрического тока N = JU.
Чтобы при помощи этой зависимости можно было получить квадратное уравнение вида (2) неизвестная величина должна стать в знаменателе, т.е. за неизвестное можно выбрать либо силу тока J, либо напряжение U. Допустим, искомая задача сводится к уравнению:

остается выбрать фабулу задачи. Пусть в ней будет идти речь об электроутюгах одной и той же мощости: N1 = N2 = 375w, но включенных в разные сети с напряжениями: U1 =220v; U2 =127v.
Так как для составления задачи надо заранее знать все велечины, то
найдем:

На основе полученных данных легко составить задачу по уравнению:

где - неизвестная велечина.
3. Доказать, что не существует целых чисел а, b, с, d таких, что выражение ах3 + bx2 +cx + d равно 1 при х=19 и равно 2 при х=62.
- Пусть

вычтем из второго равенства первое:


Мы видим, что левая часть делится на 62-19-43, тогда как правая (1) на 43 не делится. Значит а, b, с, d не целые числа.
4. Пять человек выполняют некоторую работу. Первый, второй и третий, работая вместе, могут выполнить всю работу за 7,5 часа; первый, третий и пятый - за 5 часов; первый, третий и четвертый - за 6 часов; второй, четвертый и пятый - за 4 часа. За какое время выполнят эту работу все 5 человек, работая вместе?
- Из условия задачи можно составить систему четырех уравнений с пятьюнеизвестными.
(1)
(2)
(3)
(4)
где х, у, z, t, и - соответственное время (в часах) работы каждого. Пытаться найти неизвестные х, у, z, t, и оказалось безуспешным, так как составленная система неопределенна, но при решении достаточно заметить, что в задаче требуется найти не время работы каждого в отдельности, а лишь время совместной работы, т.е. велечину
.
Сложив почленно все уравнения системы, получим
или
(5)
Учитывая (4) и (5), находим часа, т.е. всю работу 5 человек выполнят за 3 часа.
5. Пароход идет по течению реки из пункта А в пункт В а часов, а
обратно в часов (a < b ). За какое время пароход пройдет расстояние, равное
АВ? В стоячей воде? Сколько времени требуется пароходу, чтобы пройти
расстояние АВ по течению при выключенном двигателе?
- Путь х км/час - скаорость парохода в стоячей воде, у км/час -скорость течения реки, z км - расстояние между пунктами А и В. Тогда имеем систему:

Нам надо найти время, за которое пароход пройдет расстояние А В в
стоячей воде - z/x час, и время движения при выключенном двигателе z/y
час. Решив систему, найдем и .
6. Найти значения х и у, при которых выражение
принимает наименьшее значение.
- Данное в условии выражение можно записать так: .
Значить, наименьшее значение, равное 3, оно принимает при , y-2=0, т.е. при х=9 и у=2.
7. Найти целые положительные решения уравнения:
х2-4ху + 5у2 =169.
- Данное уравнение можно переписать в виде . Но 169 можно представить как сумму квадратов двух целых неотрицательных чисел двумя способами: 169 = 52 +122 = 132 + 02. Поэтому,
1) x-2y=15, y=5
2) 2y-x=12, y=5
3) x-2y=5, y=12
4) 2y-x=5, y=12
5) x-2y=0, y=13
Оканчательно получаем такие четыре решения: /
8. Найти функцию , если af(x")+ f(-x")=bx, где п -
нечетное число.
- Заменяя в данном соотношении х на -х, получим . Из полученного и данного уравнения находим откуда

1. Новоселов СИ., Специальный курс элементраной алгебры, М.,
1962
2. Обухов А.С, Введение в психологические исследования: прин¬ципы построения программы «Исследовательская работа школьников», 2006, №1
3. Журнал «Математика в школе», 1966
4. Моденов П.С, Сборник задач по специальному курсу
элементарной математики, М., 1960
5. Гулиев А.А., Обобщающие повторения курса стереометрии через задач «Журнал научных публикаций аспирантов и докторанотов», Курск 2010
6. Гулиев А.А., Понятие функциональные уравнения как средства развивающие обобщающие способность учащихся, «Теоретические и методологические проблемы современного образования», М., 2010
7. Гулиев А.А., Обобщение при обучении математики, Баку, «Элм»,
2009